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5C4や5P4の計算方法・意味・答え・違いは?5C1との関係も【組み合わせと順列:数学】

数学の組み合わせ・順列などの分野は苦手な人が多い印象です。

基礎的な計算でつまずく人もなかなかいるため、しっかりと理解したいものです。

この記事では、特に「5C4(組み合わせ)、5P4(順列)」に着目して、各々の計算方法・意味・答え・違い、5C1との関係、について解説していきますので、参考にしてみてください♪

5C4や5P4の計算方法・答えは?【組み合わせと順列:数学】

それでは以下で5C4や5P4の計算方法・意味・答えについて確認していきます。

まず、計算式内の「C」はconbination(組み合わせ)、「P」はPermutation(順列:順に並べる)を意味しています。

計算しやすい「順列」の計である「5P4」の方から見ていきましょう。

5P4の計算方法は 「5×4×3×2」であり、答えは「120」です。

順列の計算ルールとして、nPrの場合、「n × (n-1) ・・・× (n-r)」とnから1ずつ減らしていき、n-rとなるまで、掛け続ける計算となるのです。

今回の場合はn=5、r=4のため「5×4×3×2」にて計算完了です。

 

5C4の計算方法・答えは?【組み合わせと順列:数学】

今度は組み合わせの5C4の解き方もチェックします。基本的にnCrの計算の方が、nPrの計算よりも複雑のため、計算ミスに注意しましょう。

5C4の計算方法は 「5×4×3×2 / (4×3×2×1)」であり、答えは「5」です。

組み合わせの計算ルールとして、nCrの場合、「n × (n-1) ・・・× (n-r)/ (r × (r-1)・・・1)」と

・分子はnから1ずつ減らしていき、n-rとなるまで、掛け続ける計算(nPrと同じ)

・分母はrから1ずつ減らしていき、1となるまで、掛け続ける計算(rの階乗)

・nCr=上の分子÷分母

となるのです。

今回の場合はn=5、r=4のため「5×4×3×2/(4×3×2×1)」にて計算終了です。

5C4と5C1の関係

上では「5C4」としての計算方法を確認したものの、実は計算しやすい「5C1=5C4」という関係があります。

一般化するとnCr=nCn-r という関係があるのです。

今回はn=5、r=4のため、5C4=5C1と変換できるのです。

この公式は意味を考えると理解が深まります。

具体的に、5種類のカードa,b,c.d,eから4つを選ぶ場合の組み合わせとして、(a,b,c,d)が出てきたとします。

上の4つが決まれば、同時に残っているものは「e」の1パターンに決まりますよね?

つまり5つから4つ選ぶ場合と5つから1つ選ぶ選ぶ場合では「一対一で対応している」ため、組み合わせの数も一致するわけです。

 

5C4と5P4の意味と違いは?【組み合わせと順列】

上では、5C4と5P4の計算方法とその答えを確認しましたが、今度は数学的な意味・違いについても解説します。

適用場面・意味としては、

・5C4:5種類の異なるボール(a,b,c,d,e)から4つを選ぶ(a,b,c,dやa,b,d,eなど)場合の組み合わせの数

・5P4:5種類の異なるボール(a,b,c,d,e)の中から順番に4つ並べる場合の数を選ぶ(a,b,c,dやa,c,b,dなど)場合の数

といえます。

5P4の順列の方では「順番に並べる」必要があり(a,b,c,d)や(a,b,d,c)や(a,c,b,d)。。など24パターン(分母)は、別物の24通りと考えるのが5C4との違いですね。

5C4では「組み合わせ」のため、上は同じと考え、1通りとなります。

5C4において割る処理(分母)を行っているのは、上の内容の調整を行うためなのです。

このように5P4や5C4は意味や違いを理解しておくと、より計算方法も覚えられるためおすすめです。

まとめ 5C4や5P4の意味・答え・違い・計算は?【組み合わせと順列:数学】

ここでは、数学の組み合わせや順列の分野における5C4や5P4の計算方法・意味・答え・違いについて確認しました。

5C4や5P4などの計算は組み合わせや順列の基礎のため、確実に抑えていきましょう。



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