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5C3や5P3の計算方法・意味・答え・違いは?5C2との関係も【組み合わせと順列:数学】

数学の組み合わせ・順列などの分野は苦手な人が多い印象です。

基礎的な計算でつまずく人もなかなかいるため、しっかりと理解したいものです。

この記事では、特に「5C3(組み合わせ)、5P3(順列)」に着目して、各々の計算方法・意味・答え・違い、5C2との関係、について解説していきますので、参考にしてみてください♪

5C3や5P3の計算方法・答えは?【組み合わせと順列:数学】

それでは以下で5C3や5P3の計算方法・意味・答えについて確認していきます。

まず、計算式内の「C」はconbination(組み合わせ)、「P」はPermutation(順列:順に並べる)を意味しています。

計算しやすい「順列」の計である「5P3」の方から見ていきましょう。

5P3の計算方法は 「5×4×3」であり、答えは「60」です。

順列の計算ルールとして、nPrの場合、「n × (n-1) ・・・× (n-r)」とnから1ずつ減らしていき、n-rとなるまで、掛け続ける計算となるのです。

今回の場合はn=5、r=3のため「5×4×3」にて計算完了です。

 

5C3の計算方法・答えは?【組み合わせと順列:数学】

今度は組み合わせの5C3の解き方もチェックします。基本的にnCrの計算の方が、nPrの計算よりも複雑のため、計算ミスに注意しましょう。

5C3の計算方法は 「5×4×3 / (3×2×1)」であり、答えは「10」です。

組み合わせの計算ルールとして、nCrの場合、「n × (n-1) ・・・× (n-r)/ (r × (r-1)・・・1)」と

・分子はnから1ずつ減らしていき、n-rとなるまで、掛け続ける計算(nPrと同じ)

・分母はrから1ずつ減らしていき、1となるまで、掛け続ける計算(rの階乗)

・nCr=上の分子÷分母

となるのです。

今回の場合はn=5、r=3のため「5×4×3/(3×2×1)」にて計算終了です。

5C3と5C2の関係

上では「5C3」としての計算方法を確認したものの、実は計算しやすい「5C2=5C3」という関係があります。

一般化するとnCr=nCn-r という関係があるのです。

今回はn=5、r=3のため、5C3=5C2と変換できるのです。

この公式は意味を考えると理解が深まります。

具体的に、5種類のカードa,b,c.d,eから3つを選ぶ場合の組み合わせとして、(a,b.c)が出てきたとします。

上の3つが決まれば、同時に残っているものは「d,e」の1パターンに決まりますよね?

つまり5つから3つ選ぶ場合と5つから2つ選ぶ選ぶ場合では「一対一で対応している」ため、組み合わせの数も一致するわけです。

 

5C3と5P3の意味と違いは?【組み合わせと順列】

上では、5C3と5P3の計算方法とその答えを確認しましたが、今度は数学的な意味・違いについても解説します。

適用場面・意味としては、

・5C3:5種類の異なるボール(a,b,c,d,e)から3つを選ぶ(a,b,cやa,b,dなど)場合の組み合わせの数

・5P3:5種類の異なるボール(a,b,c,d,e)の中から順番に3つ並べる場合の数を選ぶ(a,b,cやa,c,bなど)場合の数

といえます。

5P3の順列の方では「順番に並べる」必要があり(a,b,c)や(a,c,b)や(b,a,c)。。など6パターンは、別物の6通りと考えるのが5C3との違いですね。

5C3では「組み合わせ」のため、上は同じと考え、1通りとなります。

5C3において割る処理(分母)を行っているのは、上の内容の調整を行うためなのです。

このように5P3や5C3は意味や違いを理解しておくと、より計算方法も覚えられるためおすすめです。

まとめ 5C3や5P3の意味・答え・違い・計算は?【組み合わせと順列:数学】

ここでは、数学の組み合わせや順列の分野における5C3や5P3の計算方法・意味・答え・違いについて確認しました。

5C3や5P3などの計算は組み合わせや順列の基礎のため、確実に抑えていきましょう。



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