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8C5や8P5の計算方法・意味・答え・違いは?8C3との関係も【組み合わせと順列:数学】

数学の組み合わせ・順列などの分野は苦手な人が多い印象です。

基礎的な計算でつまずく人もなかなかいるため、しっかりと理解したいものです。

この記事では、特に「8C5(組み合わせ)、8P5(順列)」に着目して、各々の計算方法・意味・答え・違い、8C3との関係、について解説していきますので、参考にしてみてください♪

8C5や8P5の計算方法・答えは?【組み合わせと順列:数学】

それでは以下で8C5や8P5の計算方法・意味・答えについて確認していきます。

まず、計算式内の「C」はconbination(組み合わせ)、「P」はPermutation(順列:順に並べる)を意味しています。

計算しやすい「順列」の計である「8P5」の方から見ていきましょう。

8P5の計算方法は 「8×7×6×5×4」であり、答えは「6720」です。

順列の計算ルールとして、nPrの場合、「n × (n-1) ・・・× (n-r)」とnから1ずつ減らしていき、n-rとなるまで、掛け続ける計算となるのです。

今回の場合はn=8、r=5のため「8×7×6×5×4」にて計算完了です。

 

8C5の計算方法・答えは?【組み合わせと順列:数学】

今度は組み合わせの8C5の解き方もチェックします。基本的にnCrの計算の方が、nPrの計算よりも複雑のため、計算ミスに注意しましょう。

8C5の計算方法は 「8×7×6×5×4/ (5×4×3×2×1)」であり、答えは「56」です。

組み合わせの計算ルールとして、nCrの場合、「n × (n-1) ・・・× (n-r)/ (r × (r-1)・・・1)」と

・分子はnから1ずつ減らしていき、n-rとなるまで、掛け続ける計算(nPrと同じ)

・分母はrから1ずつ減らしていき、1となるまで、掛け続ける計算(rの階乗)

・nCr=上の分子÷分母

となるのです。

今回の場合はn=8、r=5のため「8×7×6×5×4/(5×4×3×2×1)」にて計算終了です。

8C5と8C3の関係

上では「8C5」としての計算方法を確認したものの、実は計算しやすい「8C3=8C5」という関係があります。

一般化するとnCr=nCn-r という関係があるのです。

今回はn=8、r=5のため、8C5=8C3と変換できるのです。

この公式は意味を考えると理解が深まります。

具体的に、8種類のカードa,b,c.d,e,f,g,hから5つを選ぶ場合の組み合わせとして、(a,b,c,d,e)が出てきたとします。

上の5つが決まれば、同時に残っているものは「f,g,h」の1パターンに決まりますよね?

つまり8つから5つ選ぶ場合と8つから3つ選ぶ選ぶ場合では「一対一で対応している」ため、組み合わせの数も一致するわけです。

 

8C5と8P5の意味と違いは?【組み合わせと順列】

上では、8C5と8P5の計算方法とその答えを確認しましたが、今度は数学的な意味・違いについても解説します。

適用場面・意味としては、

・8C5:8種類の異なるボール(a,b,c,d,e,f,g,h)から5つを選ぶ(a,b,c,d,eやa,b,d,e,fなど)場合の組み合わせの数

・8P5:8種類の異なるボール(a,b,c,d,e,f,g,h)の中から順番に5つ並べる場合の数を選ぶ(a,b,c,d,eやa,c,b,d,eなど)場合の数

といえます。

8P5の順列の方では「順番に並べる」必要があり(a,b,c,d,e)や(a,b,c,e,d)や(a,b,d,c,e)。。など120パターン(分母の5×4×3×2×1)は、別物の120通りと考えるのが8C5との違いですね。

8C5では「組み合わせ」のため、上は同じと考え、1通りとなります。

8C5において割る処理(分母)を行っているのは、上の内容の調整を行うためなのです。

このように8P5や8C5は意味や違いを理解しておくと、より計算方法も覚えられるためおすすめです。

まとめ 8C5や8P5の意味・答え・違い・計算は?【組み合わせと順列:数学】

ここでは、数学の組み合わせや順列の分野における8C5や8P5の計算方法・意味・答え・違いについて確認しました。

8C5や8P5などの計算は組み合わせや順列の基礎のため、確実に抑えていきましょう。



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