科学

1/cosxの積分、微分の公式、計算【1/cosθ:cosx分の1】

数学を得意にするためには、まず各公式に慣れることが必須です。

例えば1/cosx(1/cosθ)の微分や積分は頻出ですが、この公式、解き方について理解していますか。

ここでは、この1/cosx(1/cosθ)の微分や積分の計算方法、公式について解説していますので、参考にしてみてください。

1/cosxの積分の公式・計算方法【1/cosθ(コサイン)】

それでは以下で、1/cosx(cox分の1)の積分の公式、計算方法を確認していきます。なお記号にθを用いた1/cosθ(コサイン)の積分方法も全く同じです。

まずは、1/cosxの分子と分母に、cosxをかけましょう。

すると ∫cosx/cos^2 x dx と変形できます。

ここで、cos^2 x=1-sin^2 xを代入すると =∫cosx/(1-sin^2 x)dx ・・・①となります。

さらに、sinx=tとし、両辺を微分して整理するとdt/dx=cosxと処理できるのがわかるでしょう。

つまり、dx= dt/cosx となるのです。

①式に戻ると、cosxが上手く消え、=∫1/(1-t^2)dtと式変形できます。

さらに、∫1/(t^2-1)dtの形では1/(t-1)-1/(t+1)といった形に分けるといいため、

∫1/(1-t ^2)dt

=1/2∫{1/(1+t)+1/(1−t)}dt

=(1/2){log(1+t)-log(1-t)}

=1/2 log{(1+t)/(1-t)}+C(積分定数)

と処理できるわけです。

最後に元のt=sinx を入れ直せば、答えが 1/2 log{(1+sinx)/(1ーsinx)} +Cとなります。

なお、積分区間も記載されている場合では、その対応も変化するため注意するといいです。

最初の分子、分母にsinをかけるのがポイントのため、これを理解しておきましょう。

これらが1/cosxの積分の公式、計算方法です。1/cosθ(シータ)でも記号のみ変えればOKです。

 

1/cosxの微分の公式、計算【1/cosθ(コサイン)】

今度は1/cosxの微分の公式、計算方法を確認していきます。なお記号にθを用いた1/cosθ(コサイン)の積分方法も全く同じです。

微分は積分よりも簡単であり、公式を覚えておけば容易に処理できます。

具体的には、 (1/cosx)′ =(cosx ^-1)′ =(-1)cosx^(-1-1)(cosx)′=sinx/cosx^2となります。

ポイントは

・1/cosx=cosx ^-1
・微分では、肩の係数が前に来て、元の係数が-1されること
・中身を微分したもの(cosx)′もかけること

ですね。

 

まとめ 1/cosxの微分、積分の公式、計算【1/cosθ(サインx分の1)】

このでは、1/cosxの積分、微分の公式、計算方法について確認しました。1/cosθ(シータ)であっても処理方法は同じです。

1/cosxの微分、積分はよく出てくるため、この機会に覚えておくといいです。

さまざまな計算に慣れ、数学をより楽しんでいきましょう。